Киргизско-русский словарь - кайкай-

1. (о корпусе) откинуться назад, выгнуться;

качырып сайды Коңурбай, кайкайбай койду эр Манас фольк. напал Конгурбай и ударил копьём, богатырь Манас даже не согнулся;

2. перен. важничать, мнить о себе;

"байбиче" десем, мактанба! "каным" десем, кайкайба! фольк. назову (тебя) я байбиче (см.) ты не хвались, назову (тебя) я госпожой ты не заважничай.